Abmahnung bei Verstoß gegen BR-Pflichten?

Nein, das kann er nicht. Die Pflichtenkreise des Betriebsratsmitglieds sind hier streng zu trennen, zwischen seinen betriebsverfassungsrechtlichten Aufgaben und Pflichten und seinen individualrechtlichen Aufgaben und Pflichten aus dem Arbeitsverhältnis.
Wenn er also seinen betriebsverfassungsrechtlichen Pflichten nachgekommen ist oder eben auch nicht nachgekommen ist, dann kann er deswegen vom Arbeitgeber keine arbeitsrechtliche Abmahnung erhalten. Diese muss aus der Personalakte dann wieder entfernt werden. Allenfalls kann der Arbeitgeber darüber nachdenken, ob er bei grobem Pflichtverstoß gegen die betriebsverfassungsrechtlichen Pflichten des Betriebsratsmitglieds ein Amtsenthebungsverfahren einleitet, das kann er beantragen gemäß § 23 Abs. 1 Betriebsverfassungsgesetz (BetrVG).